尾形貴弘が「三角関数の加法定理」「三倍角の公式」について説明し「この世の全ては三角関数でできている」と話した。「富士山頂からの眺望」の写真を出し測量機を使って水平線おを見下ろす角度を測ると説明し、問題「三角関数を使って地球の半径を求めなさい」を尾形貴弘が問いていった。答えは6.396kmとなり地球の実際の半径も約6400kmとなっていた。明治の俳人である正岡子規の随筆の中には学生時代の思い出が書かれていた。三角関数を学校でどうならうかという基礎について説明し、原型が生まれたのは紀元前とのこと。その時代以降は土地の測量などに利用され続けたと考えられている。17世紀以降数学者たちは座標という新たな考え方を使ってサインやコサインのグラフを描いてみることにした。数学史に詳しいマーカス・デュ・ソートイ博士は三角関数のイメージは数学者をも魅了するものへと大変革を遂げたと語っている。0°から90°に閉じ込められていた三角関数の角度をマイナス無限大からプラス無限大まで及ぶ実数全体にまで拡張しそこに波の形が現れることを発見した数学者たち。レオンハルト・オイラーは角度をさらに拡張することで三角関数が波意外の形とも関係していることに気付いた。
19世紀は人々にとっての数学のイメージが大きく変わる時代であった。それ以前の数学といえば宇宙の法則を解明した微分・積分のようにどちらかというと人々の日常からは遠く離れた現象を説明するための学問だった。しかしそれがより生活に密着した場面で用いられるものへと変化することになった。きっかけの1つが産業革命以降生活に欠かせないものとなり始めた蒸気機関でより効率のいい蒸気機関を作るため熱現象の数学的解明が求められるようになった。そこに登場したのが三角関数の知られざる凄さを世に示すことになるジョゼフ・フーリエであった。1811年、フーリエはフランス学士院が提示した熱伝導の数学的理論についての懸賞問題に応募。自ら作り出した熱伝導方程式を解くことで見事に大賞に輝いた。人々が驚いたのは一連の論文に書かれていた後に「フーリエ展開」と呼ばれる三角関数に関する主張であった。どんなゴチャゴチャした形（関数）でも三角関数で表せるというものであるが途切れ途切れになっている無茶な形も含まれていた。「フーリエ展開」という主張を用いてフランス学士院という大賞を受賞したフーリエ。ところがそのフーリエ展開に対しては多くの数学者が納得できないままであった。なぜならどんな関数でも三角関数の足し算で表せるという信じがたい主張を展開したのにもかかわらず、フーリエはそれに何の証明も与えなかったからである。フーリエの主張は正しいのかという問題はフーリエのみならず当時のどんな優秀な数学者でも解決不可能な超難問であったことが少しずつ明らかになっていく。
フーリエ展開の正しさについて議論した数学者の1人であるベルンハルト・リーマン。リーマンはフーリエの考え方のいわばさらに延長線上にあることを考えていた。それは素数の謎を解明することである。素数の謎とは古代ギリシャ以降数学者たちが追い求めている「素数はどんなタイミングで出現するのか？」という謎。リーマンは論文の中で未来の数学者に向けた重要な予想を記しており、それはいわば素数階段を形づくる基本の音にはそれぞれの大きさには大小はなくどれも同じ音量になっているだろうということである。これを数学の言葉で書いたのがゼータ関数の非自明なゼロ点はすべて一直線上にあるはずだというリーマン予想である。最後に尾形貴弘は三角関数の公式をさらにそらんじて説明した。