コラッツ予想を検証する上で大きな手がかりとなるのが、「偶数については検証の必要がない」という考え方だ。ある奇数まで検証してしまえば、その次の遇数は2で割るのだから検証済みの奇数よりも小さい自然数となり、既に検証は終わっているとみなすことできる。従って、実際に検証する必要があるのは奇数だけという訳だ。しかし、この理論には大きな落とし穴がある。当然ながら偶数の値が大きくなるにつれて2で割った時の値も大きくなってしまうので、次第に検証済みの奇数より大きな値になってしまうのだ。そうなってくると、結局は全ての数を地道に検証せねばならない。現在はコンピューターを用いて8垓5777京3599兆4274億9415万144まで検証が終了しているのだが、自然数は文字通り無限に存在するため証明は完了していない。
この「コラッツ予想」を提起したのがドイツの数学者であるローター・コラッツ。この問題は大々的に発表されたものではなく、国際数学者会議でコラッツ本人が何気ない雑談の話題として出したことがきっかけで知られるようになった。この問題に取り憑かれた数学者の中には核兵器開発に参加したスタニスワフ・ウラムやイェール大名誉教授の角谷静夫など錚々たる面々もいたが、いずれも何の結論も出せずに終わる。現在ではのめり込むと人生を破滅させかねないとして、数々の数学者たちが「数学にはこの種の問題に挑むための準備ができていない」と敗北宣言を出すまでに至っている。
この難問に対し、コーネリアス・エベレットとリホ・テラスは全く異なる観点からのアプローチを開始した。「すべての自然数は『偶数なら2で割る、奇数なら3倍して1足す』を繰り返すと必ず1になるはずだ」というコラッツ予想の前提に妥協を加え、「”ほとんど”すべての自然数は『偶数なら2で割る、奇数なら3倍して1足す』を繰り返すと必ず1になるはずだ」という理論に書き換えて証明を試みたのである。2人は確率論を用いて一部の数を取り除き、残りの数について証明できれば良いと考えたのだ。しかし、それでも検証は難航し、2人はさらに妥協することを決断。再び理論を書き換え、「”ほとんど”すべての自然数は『偶数なら2で割る、奇数なら3倍して1足す』を繰り返すと”自分自身よりも小さくなる”」とした。しかし、この妥協によってコラッツ予想の証明は大きく前進する。2人の論文発表から間もなくして、フランスのジャン・ポール・アリューシュは「”ほとんど”すべての自然数は『偶数なら2で割る、奇数なら3倍して1足す』を繰り返すと”自分自身の0.869乗よりも小さくなる”」に理論を修正。それに続いてスロバキアのイバン・コレックも「”ほとんど”すべての自然数は『偶数なら2で割る、奇数なら3倍して1足す』を繰り返すと”自分自身の0.7925乗よりも小さくなる”」と修正を加え、ごく僅かながら証明に向けて前進させることに成功した。
未だ証明不可能となっているコラッツ予想だが、2019年に限りなく証明に近づく理論が発表された。理論を発表したのは数学界の天才として知られるテレンス・タオ博士で、自身の専門分野である偏微分方程式を用いたアプローチで証明に挑んだのである。博士は確率や統計の手法を駆使し、「”ほとんど”すべての自然数は『偶数なら2で割る、奇数なら3倍して1足す』を繰り返すと”ある意味好きなだけ”小さくなる」という理論を発表。この理論によってコラッツ予想の証明は限りなく前進したが、未だ完全な証明には至っていない。コラッツ予想の証明は既存のものとは異なる、全く新しい数学が必要なのだ。